在我們的天文學話題中，經常會談到各類天體的質量，於是總有觀眾好奇：這些天體的質量究竟是怎麼測出來的？ 接下來兩期節目，我們將一起探討地球、月球、太陽、銀河系，甚至那些遙遠星系的質量到底是如何揭曉的。 當談及地球的質量時，我腦海中不禁浮現出阿基米德那句傳世名言：“給我一個支點，我便能撬起整個地球！”眾所周知，這句話正是在解釋杠杆原理時脫口而出的。 若只論杠杆原理，本話說得無懈可擊，又精闢异常。
然而，要和阿基米德較真，我們會發現諸多有趣的思考題。 首先，就算真的給阿基米德一根支點，他又怎能撬動地球呢？ 因為他還必須擁有一根足够長、足够堅硬的杠杆。 此時，阿基米德可能會反問：“這不就是讓人抬杆嗎？我的‘支點’可連杆子都得一起準備！”假設杠杆已經備齊，阿基米德究竟能否借力撬起地球？ 答案也是否定的，因為地球正忙於繞太陽公轉，位置始終在變，哪能找准時機用力？
面對這樣的挑戰，阿基米德或許會辯解：“大哥，我活在西元前兩百年，那時大家都認為地球是宇宙的中心，太陽、月亮和星星都是繞著地球轉的。雖然我對天文也曾頗有研究，但直到晚年才懷疑過地球其實繞太陽轉。我的杠杆實驗設想便是基於地球靜止的設定。”好吧，假設我們降低難度：假如地球在宇宙中絕對固定，且世間僅剩它一顆，再加上完美的支點和足够長的杆子，並讓阿基米德穿上太空服站到杆子的最頂端，是不是就能輕鬆一撬？ 依然不行，因為在太空中，無論是地球、杠杆還是阿基米德，均處在完全失重的狀態。 在這樣的狀態下，他根本無法撬動任何東西。 或許這時阿基米德會無奈道：“這不坑人嗎？要不你給我試試噴氣背包？”由此，我們的思考告訴我們一個重要問題：重量與質量的區別。 質量是物體固有的内容，無論在何種環境下都不改變； 而重量則依賴於所在的引力場。 例如，你在地球上稱體重60公斤，若用彈簧秤在月球上稱，則可能只有10公斤； 但如果使用帶秤砣的秤，結果仍可是60公斤，因為秤砣的重量也隨之改變。
實際上，我們在地球上量測物體質量時，都是以地球引力場為前提的，即借助地球的引力場。 那麼，要想稱量地球或其他天體的質量，本質上仍需依靠引力。 大家都熟知的萬有引力定律正是在這裡大顯身手。 1687年，被蘋果砸了一下的牛頓在《自然哲學的數學原理》中首次闡述了萬有引力定律。 這一定律指出：兩個質點之間的相互作用力，與它們質量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。 用通俗的話來說，就是兩個物體之間總存在吸引力——質量越大，引力越大； 距離越近，引力則越顯著。 現代公式寫出來便是：
f = G·（m₁×m₂）/ r²
這裡的f代表引力，G是萬有引力常數，m₁和m₂是兩個物體的質量，r則是它們之間的距離。 需要特別提醒大家，千萬不要將此處的G與重力加速度g混淆，因為在經典力學中，大寫G表示萬有引力常數，而小寫g則是重力加速度，兩者具有本質區別。
借助這一公式，我們是否就能直接求出地球的質量呢？ 其實並非如此。 我們不妨試著把萬有引力公式應用於地球對物體的引力上，那樣引力f就相當於物體的重量。 此時，已知的有物體的質量、物體所受的重力以及地球的半徑。 可問題在於，要計算地球的質量，還必須掌握萬有引力常數G，而牛頓當年並未推匯出這個常數。 於是，他設想了一個奇特的實驗，試圖借此推算出地球的平均密度。 當時，人們對地球半徑和體積已有了大致估計。 若能確定地球的平均密度，便能進一步估算地球的質量，進而反推出萬有引力常數。
那麼，這個實驗為何顯得如此“奇葩”呢？ 原因在於實驗設計出奇而不意：牛頓設想，若在地球上的一座山旁置放一塊鉛墜，依據萬有引力定律，這座山的質量將對鉛墜產生微弱引力，致使其偏離原有方向。 此時，通過量測鉛墜各處的偏轉角度，以及進行一系列計算，就能反推出山的密度與地球平均密度之間的比例關係，進而估算出地球的平均密度。 儘管牛頓心生妙計，但他也坦言這一方法難以實現，因為山對鉛墜的引力微乎其微，鉛墜的偏轉角度幾乎難以精確量測。 最終，牛頓未曾親自嘗試這一“奇葩”實驗。
令人意想不到的是，大約一百年後，英國天文學家內維爾·馬斯基林居然真的將這一實驗付諸實踐。 作為英國第五位皇家天文學家，其地位極高的馬斯基林，在1772年向皇家學會提交報告，聲稱可以試做牛頓那“奇葩”的實驗，還表示若成功定能為大英帝國贏得榮光。 皇家學會隨即成立了一個引力委員會來推進這一實驗。 為了提高實驗精度，他們首先必須挑選出一座理想的山：要求孤立、足够高大且形狀規整，最好近似標準圓錐體，這樣才能更準確地計算山體體積。 經過一年的艱苦尋找，他們終於鎖定了位於蘇格蘭高地的謝鶴倫山。 這次實驗也囙此被稱為“謝鶴倫實驗”。
從1774年起，科學家們花了兩年時間進行詳細量測，直到1776年才採集到所有所需數據； 隨後，又用兩年時間進行資料分析和計算，最終在1778年向皇家學會提交了完整報告。 實驗結果顯示，地球平均密度約為謝鶴倫山的1.8倍，即大約4500千克/立方米。 與當今已知的地球平均密度5515千克/立方米相比，誤差僅約20%，若考慮到當時的實驗條件，這樣的精准程度著實令人讚歎。 此項實驗不僅使科學家們認識到地球平均密度遠高於地表岩石密度，從而推斷出地球極可能擁有一個金屬緻密的內核，更無意中發明了等高線科技，這一發明一直沿用至今，為製圖提供了巨大便利。
儘管謝鶴倫實驗取得了成功，但在精確計算地球質量方面那20%的誤差仍顯不足。 要獲得更精確的地球質量，關鍵在於求得萬有引力常數G的準確值。 然而，量測G始終是一件异常困難的事：如果兩物體質量較小，引力便極其微弱難以精測； 而若增大質量，則又難以精確稱量。 正是這個難題，最終由英國科學家卡文迪什迎刃而解。 卡文迪什出身英國上流社會，家世顯赫，父母都是貴族，還擁有巨額財富，使他在學術研究上有著得天獨厚的支持。 1777年，卡文迪什向皇家學會提交論文，提出電荷之間作用力與距離平方成反比的觀點，該觀點隨後由庫侖通過實驗驗證，成為著名的庫侖定律； 他又在電動式與電流正比關係上有獨到見解，後被歐姆證實，從而形成了經典的歐姆定律。 儘管卡文迪什先後做出了許多重大發現，但他卻堅持原則，認為未研究透徹的東西不能隨意發表，囙此他的許多成果都埋沒於幕後。 直到後來的電磁學泰斗麥克斯韋用五年時間整理他的研究成果，才讓世人矚目。
關於卡文迪什實驗，實際上，其使用的實驗裝置並非全由卡文迪什設計，而是英國地質學家約翰·米歇爾在完成前設計的儀器，未及試驗便撒手人寰，後來設備輾轉至卡文迪什手中。 這套裝置——一臺扭力計，基本上就是將一根1.8米長的木棒水准懸掛於一根細線之上，兩端各固定一個小球，而在小球附近懸掛著兩個大球。 依據萬有引力定律，大球與小球之間雖只產生微弱吸引力，但這種力卻足以引起木棒的微小偏轉。 當懸掛木棒的細線產生足够扭矩平衡了這股引力時，木棒便穩穩停在某一偏轉位置。 雖說這個偏轉角非常小，但憑藉木棒末端1.8米的杠杆效應，加之自然震盪週期的量測，科學家們最終精確地計算出大小球之間的扭力，並據此推算出地球平均密度。 卡文迪什的量測結果為5448千克/立方米，與現今測得的5515千克/立方米相比，其誤差約僅為1%左右。
可能有人會疑惑，謝鶴倫實驗與卡文迪什實驗最終測得的都是地球的平均密度，那麼萬有引力常數G和地球質量呢？ 這主要與當時的時代背景有關。 在那個年代，還未確立萬有引力常數。 牛頓的萬有引力定律僅描述了引力與質量及距離的關係，故而當時地球平均密度成為了科學界的重要參數。 事實上，借由地球的平均密度，就能輕鬆推算出地球質量和萬有引力常數。
那麼，究竟地球的質量是多少？ 答案是5.9722×10²⁴千克，而萬有引力常數G則為6.674×10⁻¹¹。 值得一提的是，萬有引力常數在眾多物理常數中精確度最低，現時精度僅約萬分之一。 這主要是因為至今科學家仍未找到第二種測定G的方法。 如今最新的實驗裝置其實是改良版的扭力計，本質上仍與兩百多年前卡文迪什所做的相似。 得到了萬有引力常數後，我們便能稱出宇宙中其他天體的質量。 但在量測遙遠星系“體重”的過程中，還需借助另一條著名定律，並伴隨一個極其重要的發現。 關於這部分內容，我們將在下期節目中繼續探討。
