給遙遠的星系稱稱質量吧！ 古人的智慧實在是太妙了！
我們曾介紹過人類如何稱量地球的質量、計算萬有引力常數，而今天，我們的目標是為宇宙中其他天體量一量它們的質量。 不過，在此之前，先來補充一些基本知識。
一六一九年，德國天文學家約翰尼斯·開普勒完成了他的三大定律——描述太陽系行星運動規律的重要法則，囙此這三大定律又被稱作開普勒行星運動定律。 簡單來說，第一定律指出，行星運動的軌道是橢圓形，而太陽則位於這橢圓的兩個焦點之一； 第二定律則表明，行星與太陽之間連線在相同時間內所掃過的面積相等； 而第三定律則說明，行星公轉週期的平方與其軌道半長軸的立方成正比。
前兩條定律大家相對容易理解，但第三定律可能讓人有些摸不著頭腦。 不過，今天正好需要用到開普勒的第三定律，囙此我將它稍微簡化一下。 首先，我們把行星軌道理想化成一個圓形，這樣，原來定律中的軌道半長軸便可簡化為行星與太陽的距離。
簡單來說，第三定律表明：行星距離太陽越近，其公轉週期就越短； 而越遠，其公轉週期就越長，而且所有行星都遵循一個固定的比例。 這一規律帶來了重大的發現——通過觀測行星的天文現象，輕易便能掌握它們的公轉週期，從而根據開普勒第三定律推導出各行星與太陽的距離比例。 譬如，我們現今把地球到太陽的距離定義為一個天文組織，雖然開普勒當時不知一天文組織究竟有多遠，但他卻確定：金星到太陽的距離約為0.72天文組織、火星約1.5天文組織，而土星大約是9.5天文組織。
上期節目中，我們談到了牛頓於一六八七年發表的《自然哲學的數學原理》，這本書提出了牛頓運動定律與萬有引力定律。 這一時間點距離開普勒提出行星運動定律已過七十年。 儘管開普勒早就闡明了行星運動的規律，但他所提出的定律只是在當時牛頓觀測數據基礎上歸納得出的經驗公式，缺乏理論支持。 七十年後，在《自然哲學的數學原理》中，牛頓用其第二定律和萬有引力定律，從數學上嚴密地證明了開普勒定律。 接下來，我們將簡單回顧牛頓的推導過程。
這一推導過程不僅展示了如何精確量測太陽質量的秘密，也是我們對天體質量測量方法進一步認識的關鍵。 首先，我們複習牛頓的三大定律：第一定律是慣性定律； 第二定律則是加速度定律，被譽為牛頓經典力學的靈魂； 第三定律是作用與反作用定律。 針對行星圍繞太陽做圓周運動，我們可將牛頓第二定律的運算式F = m·a用於此情景，其中F表示向心力，m是行星質量，r為軌道半徑，t為公轉週期； 同時再參照萬有引力公式。
在萬有引力公式中，F為萬有引力，G是萬有引力常數，M表示太陽質量。 由於行星所受的向心力正好等於萬有引力，故我們可以建立等式，並進一步推導，最終得出週期的平方與軌道半徑的立方成正比，這不正是開普勒第三定律嗎？ 牛頓正是如此證明了開普勒定律。 進一步推導後，只要我們知道任一行星到太陽的距離和它的公轉週期，就能計算出太陽的質量。
那麼，下一個問題便是：如何確定行星到太陽的距離？ 正如前文所述，太陽系中各個行星與太陽的距離皆呈比例關係，而只需掌握其中一顆行星的數值，就可計算出太陽的質量。 既然我們身處地球，當然要想辦法確定地球與太陽的距離。 而這就需要先理解視差的概念。
什麼是視差？ 其實非常簡單，大家可以試一試：伸出一根手指放在面前，先閉上一隻眼睛觀察，記住手指在背景中的位置； 再換另一隻眼睛看，會發現手指在背景中的位置已經發生了變化，這就是由左右眼之間距離造成的視差效應。 量測遙遠天體的距離，正是利用這一原理。 譬如，若要測定月球的距離，我們可以在地球上分別設定類似左右眼位置的兩點，比如說將一個觀察點設在哈爾濱，另一個設在廣州，同時觀測月亮，便可根據月亮在背景星空中位置的不同，算出一個視差角，從而通過三角函數輕鬆得出地球到月球的距離。
現在，有觀眾可能會問，既然有了這麼好的方法，何不馬上來計算一下地球與太陽之間的距離呢？ 然而，太陽的距離並非如此易於測定。 原因在於，當觀測月球時我們可以依靠星空和遙遠的星座作為參照，但在大白天觀察太陽時，卻找不到任何背景參照。 幸而，我們的好鄰居金星能够解救這一難題。
當金星穿越太陽（所謂金星零日現象）時，我們可以觀測到太陽圓盤上那一顆小黑點，這就是正在穿越太陽的金星。 可以將金星零日視為縮小版的日蝕現象——由於金星距離太陽較遠，只能遮擋部分光線。 金星零日是一種非常罕見的天文現象，上一次分別出現在二零零四年和二零一二年，而下一次則要等到二一一七年與二一二五年。 也就是說，錯過了零四和一二年的幸運期，就得再等上好幾十年。
然而，今天我們的目標依然是通過金星零日現象來推算地球到太陽的距離。 基本方法依然利用視差：假設將觀察點定在地球的A點與B點，當金星零日發生時，從A點觀測到金星在太陽上所處的位置記為a′，而從B點觀測到的則記為b′。 根據開普勒第三定律，我們知道金星到太陽的距離約為0.72天文組織，那麼地球到金星的距離就是0.28天文組織。 故AB與a′b′的比例即為0.28比0.72； 知道地球上A、B兩點的實際距離，便能換算出太陽上a′b′的實際距離。
接著，通過對比A、B兩點拍攝到的金星零日照片，就可以測算出照片中a′b′與太陽直徑之間的比例。 結合剛剛得到的a′b′實際距離，再運用三角函數，便能精確算出太陽與地球的距離。 確定了太陽的真實直徑後，再加上在地球上觀察到的太陽視角，我們就能藉由三角函數算出地球與太陽之間的確切距離。 這便是利用金星零日現象估算地球與太陽距離的簡化方法。
當然，這些都是幾百年前的聰明智慧。 如今，隨著科技的飛速發展，我們已能利用各種先進手段精確量測太陽的距離。 當知曉地球與太陽之間的距離，再配合地球的公轉週期，便可運用前面推導的公式計算出太陽的質量。 而這一方法，同樣適用於其他行星：例如，若要測定土星的質量，只需知道任一衛星的軌道週期和軌道半徑，即可計算出土星的質量。 衛星的軌道週期可通過天文觀測得到，而軌道半徑則可借助觀測到的視直徑和土星到地球的距離來計算。
說到這裡，可能有觀眾會問，金星和水星既然沒有衛星，該如何測定它們的質量呢？ 這確實是個難題，若放在幾百年前，確實無計可施。 幸好，科技進步使我們有了向這些行星發射軌道探測器的可能。 這些探測器就如同人造衛星一樣，通過它們的軌道半徑與週期便能計算出金星和水星的質量。 月球也同理，通過環繞月球的探測器即可準確測定其質量。 此外，此前節目中提及的土衛六、土衛二等衛星，其質量亦必須依靠探測器來獲得。
然而，探測器並非必須始終環繞著這些衛星運行； 正如我們曾講解過的凱西尼號探測器，它僅藉由飛越影像便能取得數據。 這些探測器搭載的引力測量儀器，可根據飛掠過天體時測得的引力與飛行高度，精確計算出天體的質量。
那麼，接下來我們就把視角放得更遠一點，嘗試量測整個銀河系的質量。 究竟如何計算銀河系的質量？ 根本原理仍是萬有引力定律，需要知曉銀河系內恒星的距離、位置以及它們的公轉週期。 那麼，又該如何確定其他恒星的距離呢？
相信許多觀眾已經想到：仍需運用視差方法。 但由於恒星距離實在太遠，即便地球上選取兩個最遠的點作為觀察端點，所得的視差角仍然不足以精確計算。 囙此，我們必須借助地球的公轉軌道。 譬如，今晚拍一張天狼星的照片，記錄其在背景星空中的位置，然後半年後，即當地球運行到太陽軌道的另一側時，再拍一張天狼星的照片，此時，地球軌道直徑便作為三角形的底邊，從而得到更大的視差角。
為了獲得更準確的數據，我們需要量測盡可能多的恒星。 保守估計，至少需要幾百萬顆恒星的數據，雖然聽起來很多，但天文學家們的追求遠不止於此。 歐洲太空總署於二零一三年發射的蓋亞空間望遠鏡，其任務之一就是確認十億顆恒星的位置。 雖然十億顆聽起來已經讓人難以置信，但其實這還不到銀河系恒星總數的百分之一。 到目前為止，蓋亞已在一六年和一八年分別釋出了兩次數據，而最後一批數據預計在二零二二年公佈，届時我們將獲得一幅前所未有的高精度銀河系三維圖像，讓我們共同期待吧！
說完銀河系，該是時候來談談其他核外星系了。 從理論上講，只要星系在旋轉，我們便可以利用其旋轉速度和距離來估算其質量。 可是，對於核外星系而言，距離實在太遙遠，無法再使用視差法，那該如何是好呢？ 接下來，讓我們簡單介紹幾種量測更遙遠天體的方法。
首先，是利用質光關係方程。 這個方程式闡述了恒星質量與光度之間的聯系，通過該關係，我們便可以根據目標恒星的光度大致估算出其質量，進而利用開普勒第三定律反推其距離。 另一種方法則涉及到一種被稱為標準燭光的變星，俗稱噪負變星。 這種恒星的光度會呈現週期性變化，且其真實光度與脈動週期直接相關。 囙此，觀測其脈動週期便能得到真實光度，結合地球上觀測到的光度衰减，便可推算出噪負變星的距離，也就是所在星系的距離。
此外，還有一種應用極為廣泛的方法便是紅移觀測。 紅移現象即是波長變長、頻率降低； 相反，波長變短、頻率升高則稱為藍移，這兩種現象皆由多普勒效應引起。 這或許讓人有些迷惑，其實我們每個人都曾親身感受過多普勒效應：比如站在路邊，一輛車以高速駛過時，當它接近時與遠離時所發出的聲音明顯不同，尤其在賽車比賽中尤為明顯。
同理，對於遙遠星系來說，若該星系在旋轉，一側會遠離地球而另一側則接近，囙此我們便可以觀察到紅移和藍移現象。 通過光譜偏移量的大小，就能推測出星系的旋轉速度與距離。 另外，引力透鏡效應也能幫助我們測定星系的質量，同時展示出神奇的愛因斯坦環和愛因斯坦十字架，並揭示暗物質的奧秘。 關於這方面的話題，日後在談及廣義相對論與暗物質時我們再做詳細探討。
